Bilangan Bulat

A. Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat.

1. Sifat Komutatif (Pertukaran).

a. Sifat komutatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi. Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.

Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif. Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.

b. Sifat komutatif pada perkalian

Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir. Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap kantong berisi 2 butir. Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir. 

Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut.

Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2 = 8

Kelereng Budi = 4 + 4 = 2 × 4 = 8

Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.

Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian. Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis:

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan).

a. Sifat asosiatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?

Perhatikan gambar di bawah ini!

Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.

Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).

Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan. Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis:

b. Sifat asosiatif pada perkalian

Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi? Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi. 

- Cara pertama menghitung banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.

Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus = (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir = (3 + 3) × 4 

= (2 × 3) × 4 = 24 butir.

- Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak kotak.

Banyak kotak × banyak kelereng

= 2 × (4 + 4 + 4)

= 2 × (3 × 4) = 24 butir

Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4.

Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).

Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama.

Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).

Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.

Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis:

3. Sifat Distributif (Penyebaran)

Perhatikan contoh berikut!

Contoh 1:

Angka pengali disatukan.

3 x 4 dan 3 x 6 mempunyai angka pengali

yang sama yaitu 3

Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3).

3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30.

Mengapa cara ini digunakan.

Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6).

Contoh 2:

Angka pengali dipisahkan.
15 x (10+2) mempunyai angka pengali 15

Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.

15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)

= 150 + 30

= 180

Kedua contoh di atas merupakan penjumlahan yang menggunakan sifat distributif.

Benarkah bahwa (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?

(5 × 13) – (5 × 3) mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 5. Angka pengali disatukan menjadi 5 × (13 – 3). Diperoleh: (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3)

Contoh di atas merupakan pengurangan dengan sifat distributif.

Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30 lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2) = 15 × 12.

Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan. Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:

4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif

Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan.

Perhatikan contoh berikut.

1. Menghitung 5 × 3 × 6

Cara 1:

5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3

= (5 × 6) × 3

= 30 × 3

= 90

Cara 2:

5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6

= 3 × (5 × 6)

= 3 × 30

= 90

2. Menghitung 8 × 45

Cara 1: menggunakan sifat distributif pada penjumlahan

8 × 45 = 8 × (40 + 5)

= (8 × 40) + (8 × 5)

= 320 + 40

= 360

Cara 2: menggunakan sifat distributif pada pengurangan

8 × 45 = 8 × (50 – 5)

= (8 × 50) – (8 × 5)

= 400 – 40

= 360